ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: boikov@pnzgu.ru
Рязанцев Владимир Андреевич, кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: math@pnzgu.ru 

519.633 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-4-4 

Актуальность и цели. Задача об определении неизвестного граничного условия часто возникает в различных областях физики и техники в тех случаях, когда непосредственное измерение характеристик поля на части границы затруднено, либо же вовсе невозможно. Примеры задач такого типа можно встретить, в частности, в геофизике, ядерной физике, в обратных задачах теплообмена и т.д. Их сложность в значительной степени обусловлена их некорректностью, т.е. неустойчивостью их решения к возмущениям исходных данных. Учет этого свойства при решении обратных задач приводит к необходимости в разработке специальных методов регуляризации. Несмотря на многочисленные работы, выполненные в данном направлении, до настоящего момента не теряет актуальности проблема разработки новых численных методов решения граничных обратных задач математической физики.
Материалы и методы. Рассматривается начально-краевая задача для одномерного уравнения теплопроводности. Ставится задача о приближенном восстановлении неизвестного граничного условия на одном из концов интервала изменения пространственной переменной в предположении о том, что известными являются функции, определяющие начальное условие, а также граничное условие на другом конце интервала изменения пространственной переменной. В качестве дополнительной информации используются функционалы от решения исходной начально-краевой задачи при некотором фиксированном значении пространственной переменной. При конструировании численного алгоритма решения поставленной задачи (в интегральном представлении) используется подход, основанный на аппроксимации по коллокационной технологии полученного интегрального уравнения и реализации вычислительной схемы итерационным процессом, построенным на базе непрерывного операторного метода решения уравнений в банаховых пространствах. В числе достоинств метода следует назвать в первую очередь его простоту, а также универсальность и устойчивость к возмущениям исходных данных.
Результаты. Построены численные методы решения обратной граничной задачи для одномерного линейного параболического уравнения. Рассмотрены первая и вторая краевые задачи. Эффективность предложенных методов проиллюстрирована решением ряда модельных примеров.
Выводы. Подход к решению прямых и обратных задач математической физики, основанный на применении непрерывного операторного метода решения уравнений в банаховых пространствах, оказался эффективен при решении граничной обратной задачи для линейного одномерного уравнения теплопроводности. Весьма перспективным видится дальнейшее развитие этого подхода для применения его к решению задачи одновременного восстановления нескольких граничных условий, а также к решению обратных граничных задач для многомерных уравнений. 

Ключевые слова

параболическое уравнение, граничная обратная задача, непрерывный операторный метод, логарифмическая норма, регуляризация 

 Скачать статью в формате PDF

1. Алифанов, О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхин, С. В. Румянцев. – Москва : Наука, 1988. – 288 с.
2. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. – Новосибирск : Сибирское научное издательство, 2009. – 457 с.
3. Алифанов, О. М. Обратные задачи теплообмена / О. М. Алифанов. – Москва : Машиностроение, 1988. – 280 с.
4. Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. – Москва : Наука, 1978. – 206 с.
5. Самарский, А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. – Москва : Едиториал УРСС, 2003. – 784 с.
6. Бек, Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности / Дж. Бек, Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клэр. – Москва : Мир, 1989. – 312 с.
7. Vasil’ev, V. V. The numerical solution of the boundary inverse problem for a parabolic equation / V. V. Vasil’ev, M. V. Vasilyeva, A. M. Kardashevsky // AIP Conference Proceedings – 2016. – Vol. 1773, iss. 1. – Art. ID 100010.
8. Vasiliev, V. I. Numerical method for solving boundary inverse problem for onedimensional parabolic equation / V. I. Vasiliev, L. Su // Математические заметки СВФУ. – 2017. – Т. 24, № 2. – С. 108–117.
9. Jonas, P. Approximate inverse for a one-dimensional inverse heat conduction problem / P. Jonas, A. K. Louis // Inverse Problems. – 1999. – Vol. 16, iss. 1. – P. 175–185.
10. Hon, Y. C. The method of fundamental solution for solving multidimensional inverse heat conduction problems / Y. C. Hon, Y. Wei // CMES – Computer Modelling in Engineering and Sciences. – 2005. – Vol. 7, iss. 2. – P. 119–132.
11. Wen, P. H. Inverse heat conduction problems by using particular solutions / P. H. Wen, Y. C. Hon, Y. G. Xu // Heat Transfer Asian Res. – 2011. – Vol. 40, iss. 2. – P. 171–186.
12. Бойков, И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, № 9. – С. 1308–1314.
13. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. – Москва : Физматлит, 2001. – 576 с.